INTRODUCCIÓN
Los sistemas de ecuaciones son una herramienta
matemática fundamental utilizada en diversos campos, incluida la economía. En
este blog, exploraremos qué son los sistemas de ecuaciones, los diferentes
tipos de sistemas, los métodos de resolución más comunes y cómo se aplican en
el ámbito económico.
DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Comenzamos definiendo qué es un sistema de
ecuaciones, el cual consiste en un conjunto de dos o más ecuaciones que
involucran las mismas variables. El objetivo es encontrar los valores de las
variables que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente. Dichas
ecuaciones pueden representarse como dos rectas en el plano cartesiano, siendo
los puntos donde se interceptan dichas rectas la solución para el sistema.
TIPOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Podemos
encontrar dos métodos de clasificación, basados en el tipo de ecuación y en la
cantidad de resoluciones posibles.
- Sistemas de ecuaciones lineales: En este tipo de sistemas, todas las ecuaciones son lineales, lo que implica que las variables están elevadas a la primera potencia y no hay productos entre ellas.
- Sistemas de ecuaciones no lineales: Aquí, al menos una de las ecuaciones es no lineal, lo que significa que las variables pueden estar elevadas a potencias diferentes o puede haber productos entre ellas.
- Compatible Determinado: Tiene una única solución, la representación son dos rectas que se cortan en un punto.
- Compatible Indeterminado: Tiene infinitas soluciones, la representación son dos rectas que coinciden.
- Incompatible: No tiene solución, la representación son dos rectas paralelas.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES
- Método de Sustitución: Explicamos cómo despejar una variable en una de
las ecuaciones y luego sustituirla en las demás ecuaciones, reduciendo así el
sistema a uno con menos ecuaciones y variables.
- Método de Eliminación: Describimos cómo sumar o restar las ecuaciones
del sistema para eliminar una variable y obtener una nueva ecuación con menos variables.
- Método de Igualación: Mostramos cómo igualar una variable en una ecuación y sustituirla en la otra, lo que reduce el sistema a una sola ecuación con una variable.
- Método de Matrices: Presentamos el uso de álgebra matricial para representar el sistema de ecuaciones en forma de matriz y resolverlo utilizando operaciones matriciales como la eliminación gaussiana o la regla de Cramer.
TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUS
El
teorema de Rouché-Frobenius establece las condiciones necesarias y suficientes
para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución. Según el teorema, un
sistema de ecuaciones tiene solución si y solo si el rango de la matriz de
coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada del sistema.
APLICACIONES ECONÓMICAS
Los
sistemas de ecuaciones son ampliamente utilizados en el campo de la economía
para modelar y resolver problemas relacionados con la oferta y demanda, la
producción, los costos, las inversiones, entre otros. Por ejemplo, se pueden
utilizar sistemas de ecuaciones para analizar el equilibrio de mercado,
determinar los precios y las cantidades óptimas de producción, estudiar la
elasticidad de la demanda y la oferta, y analizar la asignación óptima de
recursos. Los modelos económicos utilizados para simular el comportamiento de
la economía también se basan en sistemas de ecuaciones diferenciales o
ecuaciones en diferencias, que permiten estudiar la dinámica de variables
económicas a lo largo del tiempo.
CONCLUSIÓN
Concluimos
resumiendo la importancia de los sistemas de ecuaciones en la resolución de
problemas económicos y cómo su comprensión y aplicación adecuada pueden ayudar
a analizar y tomar decisiones fundamentadas en diversos contextos económicos.
Animamos a los lectores a explorar más a fondo este tema y a reconocer las
múltiples aplicaciones de los sistemas de ecuaciones en la economía.
Autores:
Jackelyn Angulo - CI: 28484142 
Roberto Yepez - CI: 30094748
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